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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.5 - Ex. 4

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F → x , y = sen ⁡ y z   i ^ + sen ⁡ z x j ^ + sen ⁡ x y   k ^

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão, temos que encontrar o rotacional e o divergente de um campo vetorial.

Se escrevermos F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , o rotacional é calculado assim:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

E o divergente:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

O campo que a gente vai trabalhar aqui é:

F → x , y = sen ⁡ y z   i ^ + sen ⁡ z x j ^ + sen ⁡ x y   k ^

Então:

P = sen ⁡ y z

Q = sen ⁡ z x

R = sen ⁡ x y

A gente vai precisar calcular cada uma dessas derivadas e substituir na fórmula do rotacional, depois fazer a mesma coisa pro divergente!

Passo 2

(a)

Começamos pelo rotacional.

Para a primeira componente:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando R em função de y , com x , z constantes:

∂ R ∂ y = ∂ sen ⁡ x y ∂ y = x cos ⁡ x y

Derivando Q em função de z , com x , y constantes:

∂ Q ∂ z = ∂ sen ⁡ z x ∂ z = x cos ⁡ z x

Então:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = x cos ⁡ x y - cos ⁡ z x

Passo 3

Na coordenada j ^ :

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Derivando P em função de z , com x , y constantes:

∂ P ∂ z = ∂ sen ⁡ y z ∂ z = y cos ⁡ y z

Derivando R em função de x , com y , z constantes:

∂ R ∂ x = ∂ sen ⁡ x y ∂ x = y cos ⁡ x y

Daí,

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = y cos ⁡ y z - cos ⁡ x y

Passo 4

E a última coordenada:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando Q em função de x , com y , z constantes:

∂ Q ∂ x = ∂ sen ⁡ z x ∂ x = z cos ⁡ z x

Derivando P em função de y , com x , z constantes:

∂ P ∂ y = ∂ sen ⁡ y z ∂ y = z cos ⁡ y z

Então:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = z cos ⁡ z x - cos ⁡ y z

Passo 5

Voltando pra fórmula do rotacional:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

rot ⁡ F → = x cos ⁡ x y - cos ⁡ z x i ^ + y cos ⁡ y z - cos ⁡ x y j ^ + z cos ⁡ z x - cos ⁡ y z k ^

Passo 6

(b)

Agora vamos pro divergente.

Primeiro derivando P em função de x , com y , z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ sen ⁡ y z ∂ x = 0

Derivando Q em função de y , com x , z constantes:

∂ Q ∂ y = ∂ sen ⁡ z x ∂ y = 0

E por último, derivando R em função de z , considerando x e y como contantes:

∂ R ∂ z = ∂ sen ⁡ x y ∂ z = 0

Então:

div ⁡ F → = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

rot ⁡ F → = x cos ⁡ x y - cos ⁡ z x i ^ + y cos ⁡ y z - cos ⁡ x y j ^ + z cos ⁡ z x - cos ⁡ y z k ^

div ⁡ F → = 0

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