Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F → x , y , z = x y z   i ^ - x 2 y   k ^

Passo 1

Faala, pessoal!

Essa questão pediu pra calcularmos o rotacional e o divergente de um campo vetorial:

F → x , y , z = x y z   i ^ - x 2 y   k ^

Para F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , calculamos assim:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

No nosso caso:

P = x y z

Q = 0

R = - x 2 y

Então, vamos começar calculando as derivadas parciais e substituir na fórmula do rotacional, e depois fazer o mesmo pro divergente.

Lembrando que quando derivamos em função de uma variável, as outras são consideradas constantes!

Passo 2

(a)

Começando com o rotacional.

A componente i ^ :

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando:

∂ R ∂ y = ∂ - x 2 y ∂ y = - x 2

∂ Q ∂ z = ∂ 0 ∂ z = 0

Então:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = - x 2

Passo 3

Pra segunda coordenada:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Derivando:

∂ P ∂ z = ∂ x y z ∂ z = x y

∂ R ∂ x = ��� - x 2 y ∂ x = - 2 x y

E:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = x y + 2 x y

= 3 x y

Passo 4

E a última coordenada:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando:

∂ Q ∂ x = ∂ 0 ∂ x = 0

∂ P ∂ y = ∂ x y z ∂ y = x z

Daí:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - x z

Passo 5

Voltando pra fórmula:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

rot ⁡ F → = - x 2   i ^ + 3 x y   j ^ - x z   k ^

Passo 6

(b)

Agora vamos pro divergente.

Como Q = 0 :

∂ Q ∂ y = 0

Calculando as outras derivadas:

∂ P ∂ x = ∂ x y z ∂ x = y z

∂ R ∂ z = ∂ - x 2 y ∂ z = 0

Passo 7

Então, o divergente fica:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

= y z + 0 + 0

E:

div ⁡ F → = y z

Resposta

rot ⁡ F → = - x 2   i ^ + 3 x y   j ^ - x z   k ^

div ⁡ F → = y z

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