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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 35

Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Precisamos tentar entender como é o formato dessa piscina para então podermos escrever uma integral dupla que represente o volume dela.

O exercício nos disse que a piscina é circular com 10   metros de diâmetro, ou seja, com 5   metros de raio. Então o raio será de 0 a 5 . Enquanto que o ângulo θ será referente à uma circunferência completa, ou seja 0 até 2 π .

Entaõ já sabemos que a região de integração será:

0 ≤ r ≤ 5 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Agora, temos que descobrir a função a ser integrada. Para isso vamos analisar a profunidade da piscina. Se ela é constante ao longo das retas de leste para oeste, podemos ter a intuição de que a funç��o-profundidade não depende de x , considerando a direção do eixo x como a direção oeste-leste. Agora, considerando a direção do eixo y como a direção sul-norte, vemos que a função vai ser linearmente dependente de y . E qual é a função linear? Isso mesmo é a função da reta.

f x , y = a y + b

Vamos transformar tudo em coordenada polar para facilitar os cálculos, pois é uma piscinma que possui formato circular.

Passo 2

Para descobrir os valores de a e b , vamos substituir os pontos conhecidos:

f x , - 5 = a - 5 + b = 1

b = 1 + 5 a

f x , 5 = 5 a + b = 2

a = 1 10

b = 1 + 5 a = 3 2

Logo:

f x , y = y 10 + 3 2

Agora precisamos transformar tudo isso em coordenadas polares para podermos realizar a integral dupla.Em coordenadas polares, temos que:

x 2 + y 2 = r 2

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Transformando a função da profundidade em coordenadas polares, temos:

f r , θ = r sen ⁡ θ 10 + 3 2

Vamos nos recordar quais são os limites de integração? Ora se a piscina é circular então:

  0 ≤ θ ≤ 2 π

Se a piscina tem raio máximo de 5 . Então:

0 ≤ r ≤ 5

A integral dupla será então:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r sen ⁡ θ 10 + 3 2 r d r d θ

Passo 3

Agora é só calcular. Primeiro a integral de dentro:

∫ 0 5 r sen ⁡ θ 10 + 3 2 r d r = sen ⁡ θ 10 r 3 3 + 3 2 r 2 2 0 5

Aplicando os limites de integração teremos:

25 6 sen ⁡ θ + 75 4

Uma vez calculado a integral “de dentro” temos que calcular a integral “de fora”,logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r sen ⁡ θ 10 + 3 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π 25 6 sen ⁡ θ + 75 4 d θ

Integrando em relação à θ .

- 25 6 cos ⁡ θ + 75 4 θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração, lembrando que cos ⁡ 2 π =   - 1 e cos ⁡ 0 = 1

= 25 6 + 75 π 2 - 25 6 - 0 = 0

V = 75 π 2   m 3

Resposta

V = 75 π 2   m 3

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Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .2-
Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .1-
Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .5-
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.31- ∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 x 2 y 2d x d y
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.20- A região dentro do círculo r = 4s e nθ e fora do círculo r = 2