Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 30
Use o Exercício 27 para mostrar que a integral de linha não é independente do caminho.
Passo 1
Para ser independente do caminho, tem que ser conservativo e de acordo com o exercício 29, se uma função vetorial com três componentes for conservativa as igualdades abaixo serão válidas:
Show !!
Antes de começarmos temos que entender o que cada termo significa.
Podemos escrever uma integral da seguinte forma :
beleza, agora vamos dar um olhadinha na integral do enunciado e vamos determinar quem será podemos afirmar que :
Passo 2
Maneiro .Agora que entendemos o que é cada termo, precisamos derivar parcialmente cada um deles de acordo com a igualdade que vimos lá no passo 1.
Para :
Para :
Para :
Passo 3
Perfeito, já temos todas as derivadas parciais que precisávamos. Agora só precisamos comparar uma com a outra , seguindo a regrinha que vimos lá no passo 1:
Opaaaa, achamos uma sentença que não é verdadeira . Dessa forma não podemos dizer que é conservativo visto que :
Se o campo não é conservativo a integral de linha depende do caminho escolhido.
Resposta
não é conservativo e a integral de linha depende do caminho escolhido.