Use o Exercício 27 para mostrar que a integral de linha ∫ C y   d x + x   d y + x y z   d z não é independente do caminho.

Passo 1

Para ser independente do caminho, tem que ser conservativo e de acordo com o exercício 29, se uma função vetorial com três componentes for conservativa as igualdades abaixo serão válidas:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x                     ∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x                     ∂ Q ∂ z = ∂ R ∂ y

Show !!

Antes de começarmos temos que entender o que cada termo significa.

Podemos escrever uma integral da seguinte forma :

∫ a b P d x + Q d y + R d z

beleza, agora vamos dar um olhadinha na integral do enunciado e vamos determinar quem será P , Q   e   R   .   podemos afirmar que :

P = y

Q = x

R = x y z

Passo 2

Maneiro .Agora que entendemos o que é cada termo, precisamos derivar parcialmente cada um deles de acordo com a igualdade que vimos lá no passo 1.

Para P   :

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( y ) = 1  

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z ( y ) = 0  

Para Q   :

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( x ) = 1  

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z ( x ) = 0  

Para R   :

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x ( x y z ) = y z  

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y ( x y z ) = x z  

Passo 3

Perfeito, já temos todas as derivadas parciais que precisávamos. Agora só precisamos comparar uma com a outra , seguindo a regrinha que vimos lá no passo 1:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x                    

1 = 1   ( v e r d a d e i r a )                    

∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x

0 ≠ y z                      

Opaaaa, achamos uma sentença que não é verdadeira . Dessa forma não podemos dizer que F é conservativo visto que :

∂ P ∂ z ≠ ∂ R ∂ x

Se o campo não é conservativo a integral de linha depende do caminho escolhido.

Resposta

F não é conservativo e a integral de linha depende do caminho escolhido.

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