Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 78
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada?
Passo 1
Tudo certo, pessoal?
Vamos analisar o que precisamos fazer aqui:
Primeiro, precisamos saber se a função é crescente ou decrescente.
Uma forma de entender se uma sequência é crescente ou decrescente é compararmos os termos e o seu sucessor . A sequência pode ser crescente se e pode ser decrescente se . Já uma sequência não monótona, não é crescente nem decrescente, pois seus termos oscilam e não apresentam um padrão de aumento ou diminuição.
A segunda pergunta que a questão nos trás é se a sequência é limitada, ou seja, se ela é limitada tanto superiormente quanto inferiormente, ou seja, se há valores de máximo e mínimos que a sequência não ultrapassa.
Para entender se há limites superiores ou inferiores precisamos analisar termos da sequência e entender se ela tem um certo limite quando .
Passo 2
Para , temos:
Para temos:
Para , temos:
Observando os valores acima, vemos que estão crescendo conforme aumenta o valor de , logo é crescente em . Logo, a sequência é crescente.
Em termos de :
Ou seja:
Passo 3
Vamos verificar agora se essa sequência é limitada de alguma maneira.
Pensando que nossa sequência é crescente, seu menor valor é . Então ela tem limite inferior.
Vamos procurar um limite superior, ou seja, valor máximo que a sequência atinge. Para isso, precisamos calcular o valor do limite da sequência! Aplicando o limite, temos:
Aqui vemos que todos os termos com crescem muito e indefinidamente conforme , portanto:
Ou seja, esse limite não existe.
A sequência tem limite inferior, mas não tem limite superior. Portanto, a sequência não é limitada!
Resposta
A sequência não é limitada e crescente.