Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

{n * cos(n * pi)}

Passo 1

Fala aí meus amores!

Primeiro de tudo, vou te explicar que esse termo que aparece no enunciado é o termo geral da sequencia:

a n = n cos ⁡ n π

E como fazemos pra saber se uma sequência converge ou diverge?

Pra definir isso, a gente precisa tentar achar o limite dela:

l i m n → ∞   a n

Se o resultado explodir pro infinito, ela diverge. Se der um número, então ela converge pra esse número.

Vamos então calcular esse limite aqui:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   n cos ⁡ n π

Passo 2

Você se lembra da propriedade que diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites?

l i m n → ∞   n cos ⁡ n π = l i m n → ∞   n   l i m n → ∞ cos ⁡ n π

Então vamos lá separadamente

l i m n → ∞ n = ∞

E o outro termo?

l i m n → ∞ cos ⁡ n π

Bem, vamos reparar que o ângulo:

n π

É um múltiplo inteiro de π (ou de 180 ° ) , isso porque n só assume valores inteiros. Isso significa que o vamos desse cosseno vai variar entre +1 e -1 infinitamente. Não existe uma tendência. Esse limite não existe.

Então o limite total não existe. E portanto, a sequência diverge!

Resposta

Sequência divergente

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Encontre uma fórmula para o termo geral a_n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.13. { 1 / 2, 1 / 4, 1 / 6, 1 / 8, 1 / 10, … }
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite. a n = 3 + 5 n 2 n + n 2
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.38. a n = ln ⁡ n ln ⁡ 2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.35. a_n = (-1)^n / (2 * raiz(n))
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.29. a_n = e^(-1/raiz(n))