Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

38. a n = ln ⁡ n ln ⁡ 2 n

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa sequência

a n = ln ⁡ n ln ⁡ 2 n

E devemos decidir se ela converge ou diverge. Mas como fazer isso? Usando o limite da sequência para n → ∞ !

Se o limite do módulo do termo geral indo para um número finito, então a sequência é convergente.

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ a n = L

Para sabermos se a sequência dada converge, aplicamos sobre ela o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ 2 n

Se esse limite tender para um número, dizemos que a sequência é convergente, se não é divergente.

A ideia é aplicar esse limite na nossa sequência e verificar se converge para algum número! Bora começar?

Passo 2

Vamos chamar esse número de L :

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ 2 n

Para resolver esse limite, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, ou seja, derivamos a função do numerador e a função do denominador:

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n

E o limite desse resultado é igual ao limite anterior.

Agora simplificamos:

L = lim n → ∞ ⁡ 1

Passo 3

E aplicando o limite, o resultado é:

L = 1

Podemos dizer que a sequência converge para 1.

Resposta

converge

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