Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 37

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

E aí, pessoal? Tudo jóia? Vamos para mais uma análise de divergência de sequências. Lembrando que para a gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.

Nesse primeiro passo, vamos entender qual estratégia podemos utilizar para “atacar” essa questão. Como você pode notar temos no denominador e no numerador termos fatoriais. Nossa abordagem será expandir o denominador, o que nos deixará com um termo igual ao numerador e poderemos dividir um pelo outro, eliminando os termos fatoriais e tornando mais fácil o cálculo do limite.

Vamos começar com essa simplificação no passo 2.

Passo 2

A expressão genérica para fatorial é:

Utilizando dessa lógica, vamos reescrever o fatorial do denominador como:

Assim temos:

O truque então é abrir o termo fatorial até que o apareça o termo que é igual ao do numerador. Podemos assim simplificar:

Passo 3

Agora que já manipulamos o limite, basta resolvê-lo. Sabemos que quando o denominador se torna um número tão grande que quando divide o número 1 do numerador, resulta num número muito pequeno, se aproximando cada vez mais de .