Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = cos(2 / n)

Passo 1

E aí, pessoal?? Assim como nas questões anteriores, nessa questão precisamos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge. Como podemos fazer isso??

Para isso, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Ou seja, precisamos calcular

l i m n → ��   a n = l i m n → ∞   cos ⁡ 2 n

Beleza?! Então vamos lá!

Passo 2

Como a função cosseno é contínua em todos os pontos do seu domínio, podemos passar o limite para dentro do cosseno:

l i m n → ∞   cos ⁡ 2 n = cos ⁡ l i m n → ∞ 2 n

Agora, podemos calcular o limite do argumento 2 n ​:

l i m n → ∞ 2 n = 0

Assim, o limite dentro do cosseno é cos �� 0 = 1 .

Portanto, a sequência converge para 1 .

Resposta

Sequência convergente

l i m n → ∞   a n = 1

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