Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 45
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aê, pessoal! Tudo joia?
Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.
Nossa abordagem para esse caso será a seguinte: nós vamos manipular um pouco nossa sequência para que ela tome a forma de um limite fundamental, ou seja, um limite cujo resultado já sabemos e que irá nos ajudar a resolver nossa questão. Calma que vamos mostrar passo a passo desse processo...
Passo 2
Primeiro vamos manipular nossa expressão para que ela fique parecida com esse formato: , já que já sabemos o limite dessa função (detalhado no passo 3):
Tentando tornar o denominador igual ao argumento da função seno, reescrevemos o , que está multiplicando, fazendo a operação inversa, ou seja, dividindo. Porém, para manter a igualdade precisamos dividir pelo inverso de , ou seja, .
Agora podemos aplicar o limite fundamental.
Passo 3
Vamos dar uma olhada nesse limite fundamental que usaremos e qual a ideia por trás disso:
Como vimos, se tornarmos nosso limite no mesmo formato que esse, teremos logo seu resultado, pois já é conhecido. Essa é justamente a vantagem de usar limites fundamentais (lembrandos que há mais tipos de limites fundamentais, esse é um deles, o limite fundamental trigonométrico).
Podemos ver que temos algo com a mesma cara depois da nossa manipulação. Vemos aqui que comparando nosso limite com o limite fundamenta, , então mudamos de para , pois quando cresce ao infinito, se aproxima de 0.
Agora podemos chamar e substituir no nosso limite, e ficaremos com o limite fundamental cujo resultado já sabemos.
Passo 4
Assim, usamos o limite fundamental para concluir que a sequência converge para , tá certo?
Resposta
Sequência convergente.