Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = n * sen(1/n)

Passo 1

E aê, pessoal! Tudo joia?

Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.

Nossa abordagem para esse caso será a seguinte: nós vamos manipular um pouco nossa sequência para que ela tome a forma de um limite fundamental, ou seja, um limite cujo resultado já sabemos e que irá nos ajudar a resolver nossa questão. Calma que vamos mostrar passo a passo desse processo...

Passo 2

Primeiro vamos manipular nossa expressão para que ela fique parecida com esse formato: sin ⁡ x x , já que já sabemos o limite dessa função (detalhado no passo 3):

Tentando tornar o denominador igual ao argumento da função seno, reescrevemos o n , que está multiplicando, fazendo a operação inversa, ou seja, dividindo. Porém, para manter a igualdade precisamos dividir pelo inverso de n , ou seja, 1 n .

l i m n → ∞   n   s e n 1 n = lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 n

Agora podemos aplicar o limite fundamental.

Passo 3

Vamos dar uma olhada nesse limite fundamental que usaremos e qual a ideia por trás disso:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Como vimos, se tornarmos nosso limite no mesmo formato que esse, teremos logo seu resultado, pois já é conhecido. Essa é justamente a vantagem de usar limites fundamentais (lembrandos que há mais tipos de limites fundamentais, esse é um deles, o limite fundamental trigonométrico).

Podemos ver que temos algo com a mesma cara depois da nossa manipulação. Vemos aqui que comparando nosso limite com o limite fundamenta, x = 1 n , então mudamos de n → ∞ para x → 0 , pois quando n cresce ao infinito, x = 1 n se aproxima de 0.

lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 n = lim 1 n → 0 ⁡ s e n 1 n 1 n

Agora podemos chamar x = 1 n e substituir no nosso limite, e ficaremos com o limite fundamental cujo resultado já sabemos.

Passo 4

lim 1 n → 0 ⁡ s e n 1 n 1 n = lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Assim, usamos o limite fundamental para concluir que a sequência converge para 1 , tá certo?

Resposta

Sequência convergente.

l i m n → ∞   a n = 1

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