Supondo que 0 < a < 1 , mostre que

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 1 n a k = a 1 - a

Passo 1

Temos que:

∑ k = 0 n a k = 1 + a + a 2 + a 3 + … + a n - 1 + a n = a n - 1 - 1 a - 1

Então, para ∑ k = 1 n a k temos:

∑ k = 1 n a k = a + a 2 + a 3 + … + a n - 1 + a n = ∑ k = 0 n a k - 1

∑ k = 1 n a k = a n - 1 - 1 a - 1 - 1 = a n - 1 - 1 a - 1 - a - 1 a - 1 = a n - 1 - a a - 1

Passo 2

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 1 n a k = lim n → + ∞ ⁡ a n - 1 - a a - 1

Se 0 < a < 1 , então a elevado ao infinito irá convergir para zero:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 1 n a k = lim n → + ∞ ⁡ a n - 1 - a a - 1 = 0 - a a - 1 = - a a - 1 = a 1 - a

Assim, provamos que:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 1 n a k = a 1 - a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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