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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 2

Supondo que 0 < a < 1 , mostre que

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 1)^n a^k = (a)/(1 - a)

Passo 1

Temos que:

sum_(k = 0)^n a^k = 1 + a + a^2 + a^3 + ... + a^(n - 1) + a^n = (a^(n - 1) - 1)/(a - 1)

Então, para sum_(k = 1)^n a^k temos:

sum_(k = 1)^n a^k = a + a^2 + a^3 + ... + a^(n - 1) + a^n = sum_(k = 0)^n a^k - 1

sum_(k = 1)^n a^k = (a^(n - 1) - 1)/(a - 1) - 1 = (a^(n - 1) - 1)/(a - 1) - ((a - 1))/((a - 1)) = (a^(n - 1) - a)/(a - 1)

Passo 2

Logo:

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 1)^n a^k = underset(n -> + oo)(lim) (a^(n - 1) - a)/(a - 1)

Se 0 < a < 1 , então a elevado ao infinito irá convergir para zero:

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 1)^n a^k = underset(n -> + oo)(lim) (a^(n - 1) - a)/(a - 1) = (0 - a)/(a - 1) = - (a)/(a - 1) = (a)/(1 - a)

Assim, provamos que:

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 1)^n a^k = (a)/(1 - a)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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