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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 5

Calcule

lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2

(Sugestão: Verifique que 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = 1 6 n n + 1 2 n + 1 . Veja Seção 17.)

Passo 1

Bem, nós ainda não temos acesso aos bons truques de cálculo. Então temos que aprender a manipular as contas. Exatamente! É nesta parte que você aprende a ter às na manga. Vamos começar então! O enunciado nos da uma dica muito boa :

∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = 1 6 n n + 1 2 n + 1

Então:

lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2 = lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∙ 1 6 n n + 1 2 n + 1

Passo 2

Isso por si só já é um grande adianto. Não temos mais que trabalhar com somatório. Temos apenas um polinômio simples. Algo que trabalhamos desde o ensino médio. Então vamos arrumar um pouco essa equação e deixar ela com uma cara mais amigável

1 n 3 ∙ 1 6 n n + 1 2 n + 1 = n + 1 2 n + 1 6 n 2 = 2 n 2 + n + 2 n + 1 6 n 2

= 2 n 2 + 3 n + 1 6 n 2

Ótimo! Agora que é o pulo do gato. Vamos dividir em cima e embaixo por n ²

2 n 2 + 3 n + 1 6 n 2 = 2 n 2 + 3 n + 1 n ² 6 n 2 n ²

=   2 + 3 n + 1 n 2 6 →   2 + 3 n + 1 n 2 6

Assim:

lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2 = lim n → + ∞ ⁡ 2 + 3 n + 1 n 2 6 = 2 + 0 + 0 6 = 2 6

= 1 3

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2 = 1 3

Sacou o truque? Esse é um meio bem rápido de resolver nossos problemas. Calculo é uma matéria cheia de truques e manipulações. Quanto mais sagaz você ficar, mais rápido vai ser suas sacadas. E para isso é necessário treinar mais exercícios. Terminamos por aqui, mas eu te vejo na próxima resolução ; )

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2 = 1 3

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Seja f x = xs ex ∈ Q - xs ex ∉ Q a) Calcule lim x → 0 ⁡ f x .b) Mostre que, para todo p ≠ 0 , lim x → p ⁡ f x não existe.
Sabe-se que a sequência 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , é convergente. Calcule seu limite.
Sejam f uma função, p um número real e suponha que existam duas sequências a n e b n convergindo a p , com a n e b n pertencentes a D f para todo n , tais que lim n → + ∞ ⁡ f a n = L E lim n → + ∞ ⁡ f
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13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.15. - 3 ,2 ,- 4 3 , 8 9 ,- 16 27 …