Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 43
Use um gráfico da sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Veja a margem esquerda na página com sugestões para gráficos de sequências).
43-
Passo 1
O gráfico dessa sequência nos mostra que:
Onde ela parece realmente convergir para um valor igual a , porém para provar esse valor vamos analisar o que está dentro da função arcotangente.
Passo 2
Dividindo numerador e denominador por nós teremos:
E se aplicarmos o limite tendendo a infinito dessa sequência nós teremos:
Pois
Passo 3
Então se a sequência de dentro converge, logo a função de fora também convergirá, e se fizermos o arco tangente (em radiano) desse valor nós encontraremos o valor de convergência da sequência toda. O que nos dá:
Onde a tangente de nos dará um valor de .
Resposta
A sequência converge para