Use um gráfico da sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Veja a margem esquerda na página 704 com sugestões para gráficos de sequências).

43-

{ arctg(2n / (2n + 1)) }

Passo 1

O gráfico dessa sequência nos mostra que:

Onde ela parece realmente convergir para um valor igual a 0.783 , porém para provar esse valor vamos analisar o que está dentro da função arcotangente.

b n = 2 n 2 n + 1

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por 2 n nós teremos:

b n = 1 1 + 1 2 n

E se aplicarmos o limite tendendo a infinito dessa sequência nós teremos:

lim n → ∞ ⁡ b n = 1

Pois 1 2 ∞ = 0

Passo 3

Então se a sequência de dentro converge, logo a função de fora também convergirá, e se fizermos o arco tangente (em radiano) desse valor nós encontraremos o valor de convergência da sequência toda. O que nos dá:

a r c t g 1 = 0.785398 = π 4

Onde a tangente de π 4 nos dará um valor de 1 .

Resposta

A sequência converge para π / 4

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.a_n = n^3 / (n^3 + 1)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.a_n = (-1)^(n-1) * n / (n^2 + 1)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.{ ln(n) / ln(2n) }
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.a_n = e^(1/n)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.{ n^2 e^(-n) }