Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 34
Determine se a sequência converge ou diverge, Se ela convergir, encontre o limite.
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Passo 1
Ao analisarmos se a sequência converge ou diverge, o que precisamos descobrir é se o limite dessa sequência existe, ou seja, se à medida que avançamos nos termos da sequência ela se aproxima de um valor fixo.
Inicialmente, pode ser complexo analisar o limite de . O que podemos fazer para facilitar o cálculo do limite dessa sequência é “tirar” termos de dentro da raiz e simplificar termos dentro dela.
Passo 2
Fazendo essa simplificação, vamos multiplicar por para dentro das raízes. Isso seria o mesmo que multiplicar por a sequência toda e não afetaria o resultado, já que . Assim aparecerão alguns termos , eliminando algumas raízes.
Multiplicando os termos, temos:
Agora podemos separar os termos , que vão eliminar algumas raízes, colocando os em evidência:
Pela propriedade da radiciação, temos que: . Então nossa expressão fica:
Como , ficamos com:
Colocamos em evidência:
Por fim simplificamos:
Passo 3
Agora vamos fazer o limite tendendo ao infinito dessa sequência.
Sabemos que quando , e ficam cada vez menores e tendem a 0, por isso:
Resposta
Logo a sequência diverge, pois seu limite não existe.
Lembrando que o limite é usado para determinar se uma sequência converge porque nos permite analisar o comportamento dos termos da sequência à medida que avançamos indefinidamente por eles. Assim, se o limite da sequência existe e é igual a um número então a sequência converge para , o que significa que os termos vão se aproximar desse valor quanto mais termos da sequência analisarmos.