Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 19
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
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Passo 1
Ao analisarmos se a sequência converge ou diverge, o que precisamos descobrir é se o limite dessa sequência existe, ou seja, se à medida que avançamos nos termos da sequência ela se aproxima de um valor fixo.
Ao observar que a sequência tem termos exponenciais (incógnitas no expoente), podemos tentar manipulá-la para que ela assuma um formato cujo comportamento da curva já é conhecido.
Passo 2
Começamos a manipulação utilizando a propriedade da potenciação:
Assim, temos que o denominador da nossa sequência se torna:
Até então, ficamos com:
Utilizando de outra propriedade da potenciação:
Daí ficamos com:
Passo 3
Agora é mais fácil calcular o limite dessa sequência:
Pensando na função exponencial, seu limite é:
Isso vem do comportamento das funções exponenciais. Quando , a função é crescente e seus valores tendem a aumentar sem limite. Quando , temos função decrescente e cada vez que avançamos mais nos termos da sequência, menor e mais próximo de 0 seus valores se tornam.
Como nosso termo que multiplica a sequência é constante, podemos “tirá-lo para fora do limite”. Como nosso é menor que 1, temos que:
Passo 4
Aqui podemos também escrever os termos da série e encontrar sua razão, ou seja, a relação entre cada termo consecutivo:
Então a sequência é: , seu primeiro termo e sua razão
, pois cada termo é o resultado do anterior multiplicado por .
Resposta
A sequência é convergente, pois o limite existe e é igual a .