Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

19-

a n = 2 n 3 n + 1

Passo 1

Ao analisarmos se a sequência converge ou diverge, o que precisamos descobrir é se o limite dessa sequência a n existe, ou seja, se à medida que avançamos nos termos da sequência ela se aproxima de um valor fixo.

Ao observar que a sequência tem termos exponenciais (incógnitas no expoente), podemos tentar manipulá-la para que ela assuma um formato cujo comportamento da curva já é conhecido.

Passo 2

Começamos a manipulação utilizando a propriedade da potenciação:

a n + m = a n . a m

Assim, temos que o denominador da nossa sequência se torna: 3 n + 1 = 3 n . 3 1

Até então, ficamos com:

a n = 2 n 3 n . 3

Utilizando de outra propriedade da potenciação: a n b n = a b n

Daí ficamos com: a n = 1 3 2 3 n

Passo 3

Agora é mais fácil calcular o limite dessa sequência:

Pensando na função exponencial, seu limite é:

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ ,   s e   a > 1 0 ,   s e   0 < a < 1

Isso vem do comportamento das funções exponenciais. Quando a > 1 , a função é crescente e seus valores tendem a aumentar sem limite. Quando 0 < a < 1 , temos função decrescente e cada vez que avançamos mais nos termos da sequência, menor e mais próximo de 0 seus valores se tornam.

Como nosso termo 1 3 que multiplica a sequência é constante, podemos “tirá-lo para fora do limite”. Como nosso a é menor que 1, temos que:

1 3 . lim n → ∞ ⁡ 2 3 n = 1 3 . 0 = 0

Passo 4

Aqui podemos também escrever os termos da série e encontrar sua razão, ou seja, a relação entre cada termo consecutivo:

a 1 = 2 1 3 1 + 1 = 2 9

a 2 = 2 2 3 2 + 1 = 4 27

a 3 = 2 3 3 3 + 1 = 8 81

Então a sequência é: a n = 2 9 , 4 27 , 8 81 , … , 2 n 3 n + 1 , … , seu primeiro termo a 1 = 2 9 e sua razão

r = 2 3 , pois cada termo é o resultado do anterior multiplicado por 2 3 .

Resposta

A sequência é convergente, pois o limite existe e é igual a 0 .

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 3 + 5 n 2 n + n 2
Liste os primeiros seis termos da sequência definida por a n = n 2 n + 1 Esta sequência parece ter um limite? Em caso afirmativo, encontre-o.
(a) O que é uma sequência convergente? Dê dois exemplos.(b) O que é uma sequência divergente? Dê dois exemplos.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n