Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 28

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, galera? Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela:

A estratégia que podemos abordar aqui é simplificar a sequência, para diminuirmos o número de termos com logaritmo natural que teremos que lidar. Faremos isso no passo 2.

Passo 2

Bom, podemos “fazer aparecer” o termo também no denominador utilizando a propriedade do logaritmo, que também se estende ao logaritmo natural :

Então, temos:

Agora, podemos dividir o denominador e o numerador por para simplificar a expressão.

Passo 3

Precisamos agora resolver o limite. Podemos então analisar com mais facilidade o comportamento da sequência quando : a fração assume valores cada vez menores e mais próximos de zero. Sendo assim, teremos:

Resposta

Sequência convergente pois o limite da sequência existe e é:

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Calcule os primeiros 40 termos da sequência definida por a n + 1 = 1 2 a n, s ea néu mn ú m e r op a r 3 a n + 1, s ea néu mn ú m e r oí m p a r é ú é ú í e a 1 = 11 . Faça o mesmo para a 1 = 25 . Faç

(a) Seja a 1 = a , a 2 = f a , a 3 = f a 2 , . . . , a n + 1 = f a n , onde f é uma função contínua. Se l i m n → ∞a n = L , mostre que f L = L .(b) Ilustre a parte (a) tomando f x = cos ⁡ x , a = 1 ,

Use a Definição 2 diretamente para demonstrar que l i m n → ∞r n = 0 quando r1 .

(a) Mostre que, se l i m n → ∞a 2 n = L e l i m n → ∞a 2 n + 1 = L , então a n é convergente e l i m n → ∞a n = L .(b) Se a 1 = 1 e a n + 1 = 1 + 1 1 + a n encontre os oito primeiros membros da sequên

Demonstre o Teorema 7 .