Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 30
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Ei, galera! Da mesma forma que as questões anteriores, queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?
Aqui nossa sequência é dada por
Uma das formas de fazermos isso é calcularmos o limite dos termos da sequência. Daí, se os termos da sequência se aproximarem de um valor específico à medida que o índice aumenta indefinidamente (se aproxima do infinito), a sequência converge para esse limite. Se não, diverge. Sacou?
Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo dentro da raiz à medida que se aproxima do infinito. Temos
No caso da expressão , podemos dividir todos os termos por para simplificar a expressão. Essa técnica costuma nos ajudar na avaliação do limite e é conhecida como divisão pelo maior grau do polinômio.
Passo 2
Então, dividindo todos os termos por , temos
Ou seja,
Note que ao dividir todos os termos por , estamos essencialmente multiplicando por , o que não altera o valor da expressão.
Passo 3
Agora, quando se aproxima do infinito, se aproxima de . Assim,
Portanto, voltando pra nossa sequência,
Encontramos que o limite é finito, então a sequência converge para , beleza?
Resposta
Sequência convergente