Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = raiz((n + 1) / (9n + 1))

Passo 1

Ei, galera! Da mesma forma que as questões anteriores, queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Aqui nossa sequência é dada por

a n = n + 1 9 n + 1

Uma das formas de fazermos isso é calcularmos o limite dos termos da sequência. Daí, se os termos da sequência se aproximarem de um valor específico à medida que o índice aumenta indefinidamente (se aproxima do infinito), a sequência converge para esse limite. Se não, diverge. Sacou?

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo dentro da raiz à medida que n   se aproxima do infinito. Temos

l i m n → ∞ n + 1 9 n + 1

No caso da expressão n + 1 9 n + 1 ​, podemos dividir todos os termos por n   para simplificar a expressão. Essa técnica costuma nos ajudar na avaliação do limite e é conhecida como divisão pelo maior grau do polinômio.

Passo 2

Então, dividindo todos os termos por n , temos

l i m n → ∞ n n + 1 n 9 n n + 1 n

Ou seja,

l i m n → ∞ 1 + 1 n 9 + 1 n

Note que ao dividir todos os termos por n   , estamos essencialmente multiplicando por 1 n ​, o que não altera o valor da expressão.

Passo 3

Agora, quando n   se aproxima do infinito, 1 n se aproxima de 0 . Assim,

l i m n → ∞ 1 + 1 n 9 + 1 n = l i m n → ∞ 1 9 = 1 9

Portanto, voltando pra nossa sequência,

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   n + 1 9 n + 1 = l i m n → ∞   1 + 1 n 9 + 1 n = 1 + 0 9 + 0 = 1 3

Encontramos que o limite é finito, então a sequência converge para 1 3   , beleza?

Resposta

Sequência convergente

l i m n → ∞   a n = 1 3

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