Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = raiz(2^(1 + 3n) n)

Passo 1

E aê, pessoal! Tudo certo? Questão de convergência de sequências. Vamos lá!

Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela. Vamos primeiro pensar na nossa estratégia para resolução dessa questão. Vemos que temos uma função com radical cujo comportamento é difícil de prever sem a ajuda de um gráfico.

Podemos então aproveitar os expoentes da sequência para tentarmos eliminar essa raiz e para isso usaremos algumas propriedades da radiciação e da potenciação. Daí fica bem mais fácil de calcularmos o limite da sequência e assim definir sua convergência ou divergência.

Passo 2

Primeiro vamos “eliminar” a raiz da nossa expressão, reescrevendo-a. Como sabemos, uma forma de reescrever uma raiz é:

a m n = a m n

Aplicando essa simplificação para o nosso caso, teremos:

l i m n → ∞   2 1 + 3 n n = lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n

Agora podemos simplificar essa expressão no expoente dividindo o numerador e o denominador por n :

lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n = l i m n → ∞   2 1 n + 3

Utilizando uma propriedade da potenciação, simplificamos mais uma vez:

a n + m = a m . a n

Então:

l i m n → ∞   2 1 n + 3 = l i m n → ∞   2 3 .   2 1 n

Como sabemos, 2 3 = 8 :

l i m n → ∞   2 3 .   2 1 n = l i m n → ∞   8 .   2 1 n

Passo 3

Agora com o limite bem simplicado, podemos calculá-lo:

Como vemos, 1 n se torna muito pequeno quando n → ∞ .

l i m n → ∞   8   .   2 1 n = 8   .   2 0 = 8

Show! Nossa sequência vai convergir pra 8 .

Resposta

Sequência convergente. Limite da sequência existe. l i m n → ∞   a n = 8

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