Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 44
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aê, pessoal! Tudo certo? Questão de convergência de sequências. Vamos lá!
Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela. Vamos primeiro pensar na nossa estratégia para resolução dessa questão. Vemos que temos uma função com radical cujo comportamento é difícil de prever sem a ajuda de um gráfico.
Podemos então aproveitar os expoentes da sequência para tentarmos eliminar essa raiz e para isso usaremos algumas propriedades da radiciação e da potenciação. Daí fica bem mais fácil de calcularmos o limite da sequência e assim definir sua convergência ou divergência.
Passo 2
Primeiro vamos “eliminar” a raiz da nossa expressão, reescrevendo-a. Como sabemos, uma forma de reescrever uma raiz é:
Aplicando essa simplificação para o nosso caso, teremos:
Agora podemos simplificar essa expressão no expoente dividindo o numerador e o denominador por :
Utilizando uma propriedade da potenciação, simplificamos mais uma vez:
Então:
Como sabemos, :
Passo 3
Agora com o limite bem simplicado, podemos calculá-lo:
Como vemos, se torna muito pequeno quando .
Show! Nossa sequência vai convergir pra .
Resposta
Sequência convergente. Limite da sequência existe.