Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n

Passo 1

E aê, pessoal! Tudo certo? Vamos lá para mais uma questão de sequências.

Bom, para a gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela, ou seja:

l i m n → ∞ [ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ]

Nossa estratégia aqui será a de aplicar um propriedade do logaritmo natural l n para juntar esses dois termos em um só, simplificando bastante nosso cálculo de valor do limite. Vamos juntos passo a passo.

Passo 2

A propriedade que iremos usar para simplificar a sequência é:

ln ⁡ a - ln ⁡ b = l n ⁡ a b

Assim, ficaremos com:

l i m n → ∞ [ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ] = l i m n → ∞ ln ⁡ n + 1 n

Agora, podemos fazer mais uma simplificação do termo dentro do l n dividindo o numerador e denominador por n que é a maior potência:

l i m n → ∞ ln ⁡ n n + 1 n n n = l i m n → ∞ ln ⁡ 1 + 1 n 1

Perceba como essa simples divisão nos deixa com somente o termo 1 n para análise do comportamento da sequência.

Passo 3

Agora poderemos finalmente calcular o limite e determinar a convergência ou divergência da nossa sequência a n .

Sabemos que quando n → ∞ , 1 n se torna muito pequeno, tendendo então a 0 .

l i m n → ∞ ln ⁡ 1 + 1 n 1 = lim n → ∞   ln ⁡ 1 + 0 1

Acontece que ln ⁡ 1 = 0 . Então, ficamos com:

lim n → ∞  ln ⁡ 1 = 0

Então, a sequência converge para 0 , né?

Resposta

Sequência convergente, já que o limite existe. l i m n → ∞   a n = 0

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