Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 42
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aê, pessoal! Tudo certo? Vamos lá para mais uma questão de sequências.
Bom, para a gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela, ou seja:
Nossa estratégia aqui será a de aplicar um propriedade do logaritmo natural para juntar esses dois termos em um só, simplificando bastante nosso cálculo de valor do limite. Vamos juntos passo a passo.
Passo 2
A propriedade que iremos usar para simplificar a sequência é:
Assim, ficaremos com:
Agora, podemos fazer mais uma simplificação do termo dentro do dividindo o numerador e denominador por que é a maior potência:
Perceba como essa simples divisão nos deixa com somente o termo para análise do comportamento da sequência.
Passo 3
Agora poderemos finalmente calcular o limite e determinar a convergência ou divergência da nossa sequência .
Sabemos que quando , se torna muito pequeno, tendendo então a .
Acontece que . Então, ficamos com:
Então, a sequência converge para , né?
Resposta
Sequência convergente, já que o limite existe.