Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 56
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aí, pessoal? Nessa questão também queremos descobrir se a sequência converge ou não.
Para isso, devemos aplicar o limite com tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:
Se existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.
Ou seja, pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela:
Beleza?
Passo 2
Então vamos lá! Podemos começar usando a propriedade dos limites de produtos, onde o limite do produto é o produto dos limites. Ou seja,
Agora vamos olhar somente pro limite da direita:
Para simplificar, podemos pensar em dividir o numerador pelo denominador em termos separados:
Observe que cada termo desta sequência é menor ou igual a , para . Isso ocorre porque estamos dividindo por um número cada vez maior, então cada fração subsequente será menor do que a anterior. Ficou confuso??
Para ver isso mais claramente, considere que está indo para o infinito. Isso significa que os denominadores , , , etc., estão se tornando cada vez maiores. Portanto, os termos , , , etc., estão se tornando cada vez menores.
Assim, temos a sequência limitada da seguinte forma:
Então, pelo teorema do confronto, já que a sequência está limitada entre e , o limite da sequência é zero.
E portanto, olhando agora junto com o limite da esquerda
Beleza! Nossa sequência converge pra .
Resposta
Sequência convergente