Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 25
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aí, galera! Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?
Vamos calcular os termos da sequência para alguns valores de para entender seu comportamento:
Para :
Para :
Para :
Para :
Parece que a sequência está se aproximando de um valor específico à medida que n aumenta, concorda?
Vamos então analisar o comportamento da sequência conforme n se aproxima do infinito.
Passo 2
Queremos então analisar o comportamento da sequência conforme n se aproxima do infinito, ou seja,
Para determinarmos o limite, podemos dividir todos os termos por :
Daí você pode estar se perguntando por que fizemos isso...
Quando lidamos com sequências, especialmente quando estamos interessados no comportamento à medida que cresce sem limite, é útil examinarmos o termo que domina a expressão à medida que aumenta. Em outras palavras, estamos interessados no termo que cresce mais rapidamente em relação a .
No caso da nossa sequência, à medida que cresce, o termo domina a expressão, porque é o termo de maior ordem em relação a , sacou?
Então podemos dividir todos os termos por, assim estaremos essencialmente "normalizando" a expressão em termos do termo dominante. Isso nos permite simplificar a expressão e focar no comportamento da sequência à medida que cresce sem limite.
Passo 3
Agora, aplicamos o limite conforme n se aproxima do infinito:
Opa, encontramos um número finito, o que mostra que a nossa sequência converge para .
Resposta
A sequência é convergente e converge para 5.