Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = 3 + 5 n 2 n + n 2

Passo 1

E aí, galera! Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Vamos calcular os termos da sequência para alguns valores de n para entender seu comportamento:

Para n   =   1 :

a 1 = 3 + 5 1 2 1 + 1 2 = 3 + 5 1 + 1 = 8 2 = 4

Para n   =   2 :

a 1 = 3 + 5 2 2 2 + 2 2 = 3 + 20 2 + 4 = 23 6 ≈ 3.8333

Para n   =   3 :

a 1 = 3 + 5 3 2 3 + 3 2 = 3 + 45 3 + 9 = 48 12 = 4

Para n   =   5 :

a 1 = 3 + 5 5 2 5 + 5 2 = 3 + 125 5 + 25 = 128 30 ≈ 4.2667

Parece que a sequência está se aproximando de um valor específico à medida que n aumenta, concorda?

Vamos então analisar o comportamento da sequência conforme n se aproxima do infinito.

Passo 2

Queremos então analisar o comportamento da sequência conforme n se aproxima do infinito, ou seja,

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   3 + 5 n 2 n + n 2

Para determinarmos o limite, podemos dividir todos os termos por n 2 :

l i m n → ∞   3 n 2 + 5 1 n + 1

Daí você pode estar se perguntando por que fizemos isso...

Quando lidamos com sequências, especialmente quando estamos interessados no comportamento à medida que n cresce sem limite, é útil examinarmos o termo que domina a expressão à medida que n   aumenta. Em outras palavras, estamos interessados no termo que cresce mais rapidamente em relação a n .

No caso da nossa sequência, à medida que n   cresce, o termo n 2 domina a expressão, porque é o termo de maior ordem em relação a n , sacou?

Então podemos dividir todos os termos por   n 2 , assim estaremos essencialmente "normalizando" a expressão em termos do termo dominante. Isso nos permite simplificar a expressão e focar no comportamento da sequência à medida que n cresce sem limite.

Passo 3

Agora, aplicamos o limite conforme n se aproxima do infinito:

l i m n → ∞   3 n 2 + 5 1 n + 1 = 0 + 5 0 + 1 = 5

Opa, encontramos um número finito, o que mostra que a nossa sequência converge para 5 .

Resposta

A sequência é convergente e converge para 5.

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