Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 6
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Passo 1
E aí, galera! Tudo de boa?
A questão quer que a gente encontre a convergência (absoluta ou condicional) ou divergência da série:
Vamos começar entendendo se a série pode ser absolutamente convergente. Pessoal, uma série é dita absolutamente convergente se for convergente. Portanto, a nossa série será absolutamente convergente se a série a seguir for convergente:
Como o termo retorna valores negativos dependendo do valor de , ele some quando aplicamos o módulo na série.
Vamos aplicar o teste de comparação de limite: supondo e séries com termos positivos. Se:
E , ambas as séries convergem ou ambas divergem.
Vamos detalhar isso!
Passo 2
Usando o teste com:
Encontrando uma série cujo comportamento já conhecemos e que “se parece” um pouco com . Nesse caso temos uma série-p, com , ou seja, é divergente.
Aplicando o limite e resolvendo a divisão de frações multiplicando a de cima pelo inverso da de baixo:
Dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de (no nosso caso, ) para simplificar a análise do limite:
Como a fração fica muito pequena, quando , esse termo vai para zero:
Como , o comportamento de e é o mesmo. Como diverge, diverge também. A série dada não converge absolutamente porque é divergente, pois temos um caso de uma série com (divergente).
Passo 3
Agora, vamos checar a convergência da série . Temos aqui uma série alternada! Portanto, essa série converge se duas condições forem atendidas:
- é uma sequência decrescente.
No nosso problema, . Vamos verificar cada uma das condições:
- Condição 1: limite de
- Condição 2: é uma sequência decrescente.
Sabemos que para uma função ser decrescente sua derivada deve ser:
Escrevemos a nossa série em termos de . Seja . Vamos analisar a derivada dessa função:
Olhando no nosso numerador temos uma subtração. Quando for maior que 4, vai tornar o sinal da derivada negativo. Isso vai acontecer a partir de .
Aqui podemos ver que para . Logo, é decrescente para .
Como as duas condições são atendidas, essa série é convergente. Como a série não é absolutamente convergente, ela é condicionalmente convergente.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.