Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 15
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Oi, galera! Tudo joia?
Precisamos aqui achar se nossa série abaixo converge ou diverge:
Você já deve ter visto a essa altura que temos vários métodos para determinar convergência ou divergência de uma série, mas aqui o próprio enunciado já trouxe o método que precisamos usar. Bom, o teste da razão é basicamente o cálculo desse limite abaixo e observação do seu valor :
Sendo a sequência da série que estamos procurando a convergência. Se , a série diverge, mas se , ela vai convergir.
Bora achar esse limite!
Passo 2
Nossos termos do limite serão:
E para encontrar é só substituirmos nosso por :
Vamos organizar e simplificar os termos para ajudar a resolver o limite, cortando o e o :
Tirando do módulo, o sinal negativo do some:
Passo 3
Pronto, agora precisamos resolver o limite, mas do jeito que está ele iria dar uma indeterminação. Vamos tirar fator comum no denominador para contornarmos esse problema:
Simplificando :
Passo 4
Aí sim a gente aplica o limite, o termo vai tender para zero, sobrando:
Mas isso indica que , e por isso a série é divergente.