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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 8

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n ! 100 n

Passo 1

Oi, galera! Suave na nave?

A questão está pedindo para acharmos a convergência absoluta, condicional ou divergência da série:

∑ n = 1 ∞ n ! 100 n

Note que temos um fatorial na nossa série. Sempre que temos um fatorial no denominador ou no numerador, sempre vamos usar o teste da razão, facilitará nossas continhas. Vamos relembrar o Teste da Razão: Calculamos o limite:

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = L      

Se:

  • L < 1 → a série ∑ a k é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
  • L > 1 → a série ∑ a k é divergente (o mesmo para L = ∞ )
  • L = 1 → o teste é inconclusivo.

Temos que:

a n = n ! 100 n

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = ( n + 1 ) ! 100 n + 1

Então bora calcular esse limite!

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações na equação do limite do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 100 n + 1 n ! 100 n

Reescrevendo a divisão de frações acima, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da fração no denominador:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 100 n + 1 ⋅ 100 n n !

Agora podemos fazer duas manipulações para simplificar nosso limite. Vamos abrir a potência 100 n + 1 usando a propriedade: b m + n = b m   ⋅ b n . Também vamos abrir o fatorial do numerador:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 100 n + 1 ⋅ 100 n n ! = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) n ! 100 n 100 ⋅ 100 n n !

Agora basta simplificar os termos que estão no numerador e no denominador:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) n ! 100 n 100 ⋅ 100 n n ! = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 100

Ficou bem mais simples, né?

Passo 3

Vamos calcular esse limite de fato. Como n → ∞ , o numerador cresce muito;

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 100 = ∞

Passo 4

Como:

L = ∞

Então, a série ∑ n = 1 ∞ n ! 100 n

é divergente pelo teste da razão.

Resposta

Divergente.

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 . 2 n n !