Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 20
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Opa galerinha! Mais uma questão com uma série que possui uma variável , de modo que podemos definir que é uma série de potência que converge para alguns valores específicos de .
E é exatamente isso que temos que encontrar. Precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência, que nada mais é que encontrar para quais valores de a série converge.
Podemos aplicar diversos métodos, porém, perceba que tenho elementos em potência de , isso me diz que o teste da razão pode ser uma boa opção.
Vamos nos recordar o que é o teste da razão?
Uma série qualquer, chamada de , será convergente se:
Será divergente se:
Caso
Então o teste não é conclusivo.
Agora que já entendemos o que será feito.
Partiu colocar a mão na massa!!!
Passo 2
Vamos definir quem é e :
Temos que
Então, fazemos
Passo 3
Assim,
Passo 4
Pela definição de teste da razão, a série converge quando:
Então temos que, para a série convergir
Logo:
Ou seja:
Passo 5
Então, o raio de convergência
Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,
Quando
A série
, é divergente pela p-série, com
Quando
A série
É uma série alternada. Podemos verificar as duas condições necessárias para convergir.
- A série precisa ser decrescente. (Considerando apenas os valores absolutos dos termos.
- O limite com tendendo ao infinito deve ser.
Ambos os casos podem ser verificados ao analisar que o numerador permanece constante e o denominador tende ao infinito.
De modo que a série é certamente decrescente, e seu limite é zero.
Então a série converge pelo teste das séries alternadas.
Então, o intervalo de convergência é: