Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 6

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 0 ∞ - 3 n 2 n + 1 !

Passo 1

E aí, pessoal? Firmeza?

Precisamos analisar o comportamento da série:

∑ n = 0 ∞ - 3 n 2 n + 1 !

Note que temos um fatorial na nossa série. Uma forma legal de trabalhar com séries de termos fatoriais é o Teste da Razão, por que envolve uma divisão e conseguimos manipular nossos termos pros termos em fatorial se anularem e assim nos livrarmos deles.

Lembra do Teste da Razão? Calculamos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L      

Se:

  • L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
  • L > 1 → a série ∑ a n é divergente
  • L = 1 → o teste é inconclusivo.

Temos que:

a n = - 3 n 2 n + 1 !

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = - 3 n + 1 [ 2 n + 1 + 1 ] !

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações no limite do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 [ 2 n + 1 + 1 ] ! - 3 n 2 n + 1 !

Reescrevendo a divisão de frações acima, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da fração que divide:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 [ 2 n + 1 + 1 ] ! ⋅ 2 n + 1 ! - 3 n

Usando a propriedade de potenciação:   b m + n = b m   ⋅ b n  

lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 [ 2 n + 1 + 1 ] ! ⋅ 2 n + 1 ! - 3 n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n ( - 3 ) [ 2 n + 1 + 1 ] ! ⋅ 2 n + 1 ! - 3 n

Abrindo os termos fatoriais, teremos:

lim n → ∞ ⁡ - 3 n - 3 2 n + 1 + 1 ! ⋅ 2 n + 1 ! - 3 n

Cancelando os termos - 3 n e tirando -3 do módulo, ficando assim positivo:

L = lim n → ∞ ⁡ - 3   2 n + 1 ! 2 n + 3 ! = 3   lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 ! 2 n + 3 !

Observe que:

2 n + 1 ! 2 n + 3 ! = 2 n + 1 ! 2 n + 3 2 n + 2 2 n + 1 ! = 1 2 n + 3 2 n + 2

Dessa forma,

L = 3   lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 3 2 n + 2 = 3 ⋅ 0 = 0

Passo 3

Como:

0 < 1

Então, a série ∑ n = 0 ∞ - 3 n 2 n + 1 !

é absolutamente convergente pelo teste da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) ((n !)^n)/(n^(4 n))
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n n + 1 n 2
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ e - n . n !
Determine se a série e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 5 n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 10 n n + 1 . 4 2 n + 1