Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ 10 n n + 1 . 4 2 n + 1

Passo 1

Fala, pessoal! Tranquilidade?

Aqui podemos começar analisando a série dada e tentando entender se ela é absolutamente convergente, ou seja, se ∑ ∣ a n ∣ converge.

Vamos para isso usar o método do Teste da Razão:

Calculamos o limite:

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = L      

Se: L < 1 → a série ∑ a k é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se L > 1 → a série ∑ a k é divergente (o mesmo para L = ∞ )e se L = 1 → o teste é inconclusivo.

Bora pra solução!

Passo 2

Vamos usar o teste da razão.

Colocando:

a n = 10 n n + 1 . 4 2 n + 1

Para a n + 1 precisamos substituir n por n + 1 :

a n + 1 = 10 n + 1 n + 2 . 4 2 n + 1 + 1

Montando a estrutura do limite que vamos precisar calcular e já escrevendo a divisão de frações como uma multiplicação da de cima pelo inverso da de baixo:

a n + 1 a n = 10 n + 1 n + 2 . 4 2 n + 1 + 1 . n + 1 . 4 2 n + 1 10 n   = 10 4 2 . n + 1 n + 2

Passo 3

Temos que, tomando o limite n → + ∞ , a segunda fração tende a 1 .

Concluindo que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 10 4 2 = L < 1

Portanto, pelo teste da razão, a série é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente

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Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.Passo 1Fala galerinha tranquilidade, para fazer o teste da raiz, precisamos obedecer a seguinte
Determinar se a série converge ou diverge, e se convergir achar a soma: ∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 1 3 n
Determinar se a série converge ou diverge, e se convergir achar a soma: ∑ n = 1 ∞ [ cos ⁡ 1 n π + 1 ] 2 n
Determinar se a série converge ou diverge, e se convergir achar a soma: ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 2 n