Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t + ln ⁡ t y = t - ln ⁡ t

d y d x = t - 1 t + 1 d 2 y d x 2 = 2 t t + 1 3 A concavidade da curva é para cima quando t- 1o ut0 .

Enunciado

Olá, meu parceiro. Vamos resolver essa daqui.

Precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada da curva parametrizada:

A derivada primeira da curva é dada por

Já a derivada segunda é dada por:

Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessas fórmulas.

Uma curva é concava para cima quando:

Então após derivarmos duas vezes e encontrarmos nossa segunda derivada, deveremos realizar essa análise.

Vamos começar pela derivada de :

Realizando o mmc:

Agora a derivada de :

Realizando o mmc:

Substituindo na fórmula da primeira derivada:

Organizando a divisão de frações:

Simplificando:

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

Então, vamos pegar a derivada e derivar em relação a e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de em relação a nós já temos.

Usando a regra do quociente:

Vamos então encontrar a nossa derivada:

Realizando os produtos:

Simplificando tudo:

Já temos tudo, então agora é só substituir.

Organizando a divisão de frações:

Para descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima, temos que ter:

O numerador é positivo se e negativo se , enquanto o denominador é positivo se e negativo se .

Essa expressão será positiva quando o numerador e o denominador tiverem sinais iguais.

Isso acontece quando e .

Então podemos concluir que a concavidade da curva é para cima quando ou.

A concavidade da curva é para cima quando .