Determine se a série converge ou diverge.

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∑ n = 1 ∞ 1 1 + n

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ 1 1 + n

E precisamos decidir se ela converge ou diverge! E agora? A ideia é fazer comparações com as séries que conhecemos até aqui!

Temos as p - s é r i e s que são séries do tipo

∑ 1 n p

E que são convergentes se p > 1 , e são divergentes para p ≤ 1 . E como isso por ajudar a gente? Lembra que uma constante somando/subtraindo pode ser desconsiderada no infinito, então podemos comparar nossa série com uma série conhecida!

E o que fazer com isso? Aplicar o teste da comparação dos limites! Esse teste nos diz que se a razão de duas séries converge para algum limite finito, isso significa que elas têm o mesmo comportamento!

Então temos uma série parecida com a nossa e a série a ser analisada! É com essas duas que vamos aplicar o teste da comparação!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Podemos comparar essa série com uma p - s é r i e :

∑ n = 1 ∞ 1 n = ∑ n = 1 ∞ n n

E essa série pode ser comparada com:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Onde com certeza por intervalor de 1 a nós teremos:

n n > 1 n

Logo a série n n com certeza divergirá. Mas ela é igual a nossa?

∑ n = 1 ∞ 1 1 + n

Podemos multiplicar em cima e embaixo por n e temos

∑ n = 1 ∞ n n + n

Bora analisar essa?

Passo 3

Porém não podemos dizer muito sobre a série dada no enunciado pois ela pode ser escrita da seguinte forma:

∑ n = 1 ∞ n n + n

E o denominador dessa função é maior que n nos dando uma fração menor (seria melhor se o denominador fosse menor), então não podemos dar nenhuma certeza se essa série divergirá também. Sendo necessária o teste da comparação por limite.

Passo 4

Vamos então chamar:

a n = n n = 1 n = 1 n p

Série conhecida, do tipo p com p = 1 / 2 (série divergente pois p = 1 2 < 1 ). E nossa série

b n = n n + n

E vamos fazer a razão dessas séries e calcular o limite quando n → ∞ !

Logo fazendo o limite de n tendendo a infinito temos:

lim n → ∞ ⁡ n n × n + n n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1

O que pode ser:

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 1

Como encontramos um número finito, as duas tem o mesmo comportamento.

Então podemos dizer com certeza que as duas funções divergem.

Espero ter ajudado!

Resposta

Série divergente.

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