Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 21
Determine se a série converge ou diverge.
21-
Passo 1
Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui
E precisamos decidir se ela converge ou diverge! E agora? A ideia é fazer comparações com as séries que conhecemos até aqui!
Temos as que são séries do tipo
E que são convergentes se , e são divergentes para . E como isso por ajudar a gente? Lembra que uma constante somando/subtraindo pode ser desconsiderada no infinito, então podemos comparar nossa série com uma série conhecida!
E o que fazer com isso? Aplicar o teste da comparação dos limites! Esse teste nos diz que se a razão de duas séries converge para algum limite finito, isso significa que elas têm o mesmo comportamento!
Então temos uma série parecida com a nossa e a série a ser analisada! É com essas duas que vamos aplicar o teste da comparação!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo contigo!
Passo 2
Podemos comparar essa série com uma :
E essa série pode ser comparada com:
Onde com certeza por intervalor de a nós teremos:
Logo a série com certeza divergirá. Mas ela é igual a nossa?
Podemos multiplicar em cima e embaixo por e temos
Bora analisar essa?
Passo 3
Porém não podemos dizer muito sobre a série dada no enunciado pois ela pode ser escrita da seguinte forma:
E o denominador dessa função é maior que nos dando uma fração menor (seria melhor se o denominador fosse menor), então não podemos dar nenhuma certeza se essa série divergirá também. Sendo necessária o teste da comparação por limite.
Passo 4
Vamos então chamar:
Série conhecida, do tipo com (série divergente pois ). E nossa série
E vamos fazer a razão dessas séries e calcular o limite quando !
Logo fazendo o limite de n tendendo a infinito temos:
O que pode ser:
Como encontramos um número finito, as duas tem o mesmo comportamento.
Então podemos dizer com certeza que as duas funções divergem.
Espero ter ajudado!
Resposta
Série divergente.