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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 13

Nos Exercícios 1-14, determine se as séries alternadas convergem ou divergem. Algumas das séries não satisfazem as condições do teste da série alternada.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1 n + 1    

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

u n = n + 1 n + 1

vamos definir a função f n = u n e encontrar sua derivada:

f ' n = n + 1 n + 1 ' = 1 2 n ∙ n + 1 - ( n + 1 ) ∙ 1   n + 1 2 = 1 - n - 2 n 2 n n + 1 2  

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência u n é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ n + 1 n + 1 = lim n →  ∞ ⁡ 1 2 n 1 = lim n →  ∞ ⁡ 1 2 n =   0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste de Leibniz.

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