Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 18
Determine se a série e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, galera!
Para resolver essa parada, vamos utilizar o Teste da Razão para analisar a convergência da série .
O teste da Razão é uma técnica que nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita. Ele nos diz que se , então a série converge.
Passo 2
Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos consecutivos da série:
Simplificando, obtemos:
Então, ficaremos com:
Organizando, teremos:
Passo 3
Agora, esse limite que encontramos é uma forma indeterminada do tipo .
Para resolvê-lo, podemos usar a regra de L’Hôpital ou uma propriedade do número de Euler. A regra de L’Hôpital afirma que, se temos um limite do tipo ou , e ambas as funções, numerador e denominador são diferenciáveis em um intervalo aberto que contém o ponto em que estamos tomando o limite, então o limite do quociente dessas funções é o mesmo que o limite do queociente das derivadas dessas funções.
Em outras palavras, se ou , então , onde e são as derivadas de e , respectivamente.
No limite , percebemos que conforme tende ao infinito, se aproxima de 1. E, sabemos que . Portanto, podemos concluir que
.
Agora, como , pelo Teste da Razão, podemos concluir que a série é absolutamente convergente.
Resposta
A serie converge absolutamente.