Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 32
Uma série é definida pelas equações
Determine se converge ou diverge.
Passo 1
E aí, pessoal? De boa?
Vamos determinar se a série converge ou diverge. Para isso vamos usar o Teste da Razão.
Vamos relembrar o Teste da Razão: calculamos o limite:
Se:
- a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
- a série é divergente
- o teste é inconclusivo.
Você pode ter notado que temos expressão para mas não temos expressão para , né? Mas nota nosso limite ali do teste, ele tem no denominador, assim ele vai ser cancelado.
Vamos pro limite!
Passo 2
Pela definição do teste da razão, sabemos que:
Então, temos que:
Fazendo essa divisão que mencionamos no passo 1, teremos:
Vamos reescrever nosso limite:
Calculando o limite, sabemos que conforme , . Então nem precisamos analisar o que está dentro dos parênteses, já que independentemente do valor estará sendo multiplicado por 0.
Passo 3
Como,
Então, a série converge absolutamente pelo teste da razão.
Resposta
Converge absolutamente.