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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 10

3-32. Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 0)^(oo) (1 + s e n n)/(10^n)

Passo 1

Aqui vamos aplicar o teste da comparação! A ideia é comparar a serie do enunciado com uma parecida em que a gente saiba se converge ou diverge. Se a série que escolhemos for maior e convergente, isso significa que a série dada também irá convergir.

Vamos escolher uma série para comparar!

Passo 2

Repara que no denominador temos um 10^n . Deste modo, vamos escolher uma série geométrica parecida com 10^n no denominador.

Agora vamos olhar para o numerador que é 1 + s e n n . Galerinha, a função seno varia de - 1 até + 1 , deste modo, o maior valor que o numerador pode assumir é 2 .

Pronto! Já temos o que precisamos para escolher a série. Já decidimos o denominador e sabemos que o numerador tem que ser maior que 2 . Vamos escolher essa série então:

sum_(n = 0)^(oo) (3)/(10^n)

Podemos escrever ela assim,

3 sum_(n = 0)^(oo) ((1)/(10))^n

Analisando essa série temos que é uma série geométrica convergente, uma vez que r = 0,1 < 1 .

Comparando, teremos:

(1 + s e n n)/(10^n) < (3)/(10^n)

Dessa forma, a série que nos foi dada também será convergente.

Resposta

sum_(n = 0)^(oo) (1 + s e n n)/(10^n) é c o n v e r g e n t e

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