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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.6 - Ex. 13

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

13-

∑ n = 1 ∞ n - 3 n 4 n - 1

Passo 1

Agora que temos conhecimento em outros tipos de série poderíamos confundir essa série com uma série do tipo alternada (o que também é) mas vamos aplicar diretamente o teste da razão nela pois será mais fácil nessa série aqui.

Além de que se o resultado der uma série convergente, logo saberemos que ela é absolutamente convergente sem a necessidade de fazer nenhum outro teste.

Logo pelo teste da razão.

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n  

Onde:

a n = n - 3 n 4 n - 1

a n + 1 = ( n + 1 ) - 3 n + 1 4 n

Passo 2

Aplicando o teste da razão temos:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 - 3 n + 1 4 n × 4 n - 1 n - 3 n

Juntando os termos de mesma base temos:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n × - 3 × 4 - 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n × - 3 4

Pois :

a c a b = a c - b

Aplicando o limite então temos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n × - 3 4 = 1 - 3 4 = 1 4

Como o valor do limite deu resultado com módulo menor que 1 então podemos dizer que a série é absolutamente convergente.

Resposta

Série absolutamente convergente.

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Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ ( 3 n - 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ e n n 2
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n 2 n !
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 n 4 4 n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 10 n n + 1 . 4 2 n + 1