Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 26

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (n + 5)/(root(3)(n^7 + n^2))

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (n + 5)/(root(3)(n^7 + n^2))

Para comparar usaremos uma série similar a série que estamos analisando, com um polinômio de primeiro grau no numerador e um polinômio de sétimo grau dentro da raiz cubica no denomidanor

b_n = (n)/(root(3)(n^7)) = (n)/(n^(7 // 3)) = (1)/(n^(4 // 3))

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((n + 5)/(root(3)(n^7 + n^2)))/((1)/(n^(4 // 3)))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (n + 5)/(root(3)(n^7 + n^2)) * n^(4 // 3)

Colocando n^7 em evidencia na raiz e n no numerador

= underset(n -> oo)(lim) (n (1 + (5)/(n)))/(root(3)(n^7 (1 + (1)/(n^5)))) * n^(4 // 3) = underset(n -> oo)(lim) (n^(7 // 3) (1 + (5)/(n)))/(n^(7 // 3) root(3)((1 + (1)/(n^5))))

Simplificando n^(7 // 3)

= underset(n -> oo)(lim) ((1 + (5)/(n)))/(root(3)((1 + (1)/(n^5)))) = 1

Como 1 > 0 e a série

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^(4 // 3))

É uma série-p com p = (4)/(3) > 1 , ela converge, consequentemente nossa série

sum_(n = 1)^(oo) (n + 5)/(root(3)(n^7 + n^2))

Também converge.

Resposta

Converge.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ 1 - n n 2 n
Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas. ∑ n = 3 ∞ 5 n 3 - 3 n n 2 ( n - 2 ) ( n 2 + 5 )
Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas. ∑ n = 2 ∞ 1 n !
Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1
Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n + 2 n n 2 2 n