Mostre que, se a n0 e lim n → ∞ ⁡ na n ≠ 0 , então ∑ a n é divergente.

Se a n0 e lim n → ∞ ⁡ na n ≠ 0 , então ∑ a n é divergente.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 43

Mostre que, se e , então é divergente.

Passo 1

Vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não e então calculamos o seguinte limite

Se for um número finito e , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Usando o teste da comparação por limite, podemos comparar a série dada com a série harmônica

Então aplicando o limite

Se esse limite for finito e diferente de , então ambas as séries convergem ou divergem, pelo teste da comparação por limite e se o limite for , como diverge, como demonstrado na questão 41, também diverge.

Então para que convirja, é necessário que este limite seja , mas isso não implica na convergência da série.

Resposta

Se e , então é divergente.

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