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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 43

Mostre que, se a n > 0 e lim n → ∞ ⁡ n   a n ≠ 0 , então ∑ a n é divergente.

Passo 1

Vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b n e outra não a n e então calculamos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Usando o teste da comparação por limite, podemos comparar a série dada com a série harmônica

b n = 1 n

Então aplicando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 / n = lim n → ∞ ⁡ n   a n

Se esse limite for finito e diferente de 0 , então ambas as séries convergem ou divergem, pelo teste da comparação por limite e se o limite for ∞ , como ∑ b n diverge, como demonstrado na questão 41, ∑ a n também diverge.

Então para que ∑ a n convirja, é necessário que este limite seja 0 , mas isso não implica na convergência da série.

Resposta

Se a n > 0 e lim n → ∞ ⁡ n   a n ≠ 0 , então ∑ a n é divergente.

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