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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 41

  1. Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente. Demonstre que se

    2. lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞

    então, ∑ a n também é divergente.

  2. Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
  1. ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

  2. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Passo 1

Primeiramente devemos entender que a questão espera que utilizemos o teste de comparação no limite para fazer a demonstração que ∑ a n diverge. A partir da demonstração iremos mostrar a convergência das séries solicitadas pelo exercício. Tranquilo certo?

O que é o teste de comparação?

É simplesmente um teste que relaciona a convergência ou divergência de duas séries. Basicamente temos que ter em mente o teorema do teste da comparação. Que diz:

“Suponha ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos. Se ∑ b n for divergente e a n ≥ b n para todo n , então ∑ a n também será divergente.”

Bom, e como relacionamos isso com a série a ser investigada? Vamos ver no passo 2!

Passo 2

No item (a) temo que:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞

Se o limite tende a infinito, significa que para qualquer n a partir de algum número qualquer a n tende ao infinito mais rapidamente que b n . O que significa que a n > b n . Preste atenção que a n não precisa ser maior que b n em todas as somas parciais. Precisa apenas que ela seja maior a partir de um determinado n qualquer.Sabemos pelo enunciado da questão que b n é divergente. Podemos concluir então (pelo teorema exposto acima) que a n também será divergente.

Passo 3

(b)

Vamos utilizar a demonstração que fizemos para mostra a divergência das seguintes séries:

  1. ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

    Considere que a n = 1 ln ⁡ n . Devemos escolher um b n que tenha todos os termos parciais positivos e que seja < a n .

    Considerando:

    b n = 1 n

    para n ≥ 2 . Temos:

    lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n 1 n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n

    Aplicando L’Hospital

    = lim n → ∞ ⁡ 1 1 / n = lim n → ∞ ⁡ n = ∞

    lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞

    E ∑ b n diverge, pois, a série harmônica diverge, temos que

    ∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n

    Também diverge.

    Passo 4

  2. Precisamos fazer o teste de comparação na série:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Novamente utilizaremos:

b n = 1 n

para n ≥ 2 .

Calculando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n

Como

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n = ∞

Então:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞

E sabemos que ∑ b n diverge. Ou seja:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Também diverge.

Resposta

A demonstração foi feita pelo teste da comparação.

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