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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 30

Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ n ! n n

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

Vamos usar o Teste da Comparação para encontrarmos o comportamento de:

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ n ! n n

Lembra como funciona esse teste? Temos que achar uma outra série b n que a gente já sabe se converge ou diverge e compara com nossa série a n dada no enunciado.

  1. Se b n for convergente e a n ≤ b n para todo n , então ∑ a n também será convergente.
  2. Se b n for divergente e a n ≥ b n para todo n , então ∑ a n também será divergente.

Geralmente usamos séries-p ou séries geométricas para comparação. No nosso caso usaremos a série-p com p = 2 , ou seja, uma série que converge.

Então vai ser assim: vamos tentar usar a parte (i) do nosso Teste, ou seja, mostrar a convergência da nossa série mostrando que nossos termos a n   são menores que os termos dessa nova série b n que achamos, portanto, as duas vão convergir.

O bizu aqui pro nosso caso é que vamos usar a expansão de n ! para tirarmos de lá uma outra série b n .

Bora lá? Passo a passo para não nos perdermos.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a n , podemos dizer que

a n = n ! n n

E isso vale para n ≥ 1 .

Para escolher a outra série vamos usar b n = 2 / n 2 , porque para n ≥ 4 , b n > a n , por conta do seguinte cálculo

1 n ⋅ 2 n ⋅ 3 n ⋅ 4 n … n n < 1 n ⋅ 2 n

Note que o que está dentro da chave é menor do que 1 , então diminui o valor quando multiplicado com o que está fora, mas isso só vale para valores maiores que 3 .

O fato de começarmos a considerar n ≥ 4 , ou seja, exluindo alguns primeiros termos de b n não interfere na nossa análise. Você pode desprezar alguns primeiros termos da série que está usando como parâmetro de comparação porque o que realmente importa é o comportamento a longo prazo da série, à medida que 𝑛 tende ao infinito.

Passo 3

Então como a n < b n ,     ∀ n ≥ 4 e nós sabemos que ∑ n = 1 ∞ b n converge pois é uma série-p com p = 2 , pelo teste da comparação

∑ n = 1 ∞ n ! n n

É convergente.

Resposta

Converge.

.

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