Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 30

Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

Vamos usar o Teste da Comparação para encontrarmos o comportamento de:

Lembra como funciona esse teste? Temos que achar uma outra série que a gente já sabe se converge ou diverge e compara com nossa série dada no enunciado.

Se for convergente e para todo , então também será convergente.
Se for divergente e para todo , então também será divergente.

Geralmente usamos séries-p ou séries geométricas para comparação. No nosso caso usaremos a série-p com , ou seja, uma série que converge.

Então vai ser assim: vamos tentar usar a parte (i) do nosso Teste, ou seja, mostrar a convergência da nossa série mostrando que nossos termos são menores que os termos dessa nova série que achamos, portanto, as duas vão convergir.

O bizu aqui pro nosso caso é que vamos usar a expansão de para tirarmos de lá uma outra série

Bora lá? Passo a passo para não nos perdermos.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de , podemos dizer que

E isso vale para .

Para escolher a outra série vamos usar , porque para , , por conta do seguinte cálculo

Note que o que está dentro da chave é menor do que , então diminui o valor quando multiplicado com o que está fora, mas isso só vale para valores maiores que .

O fato de começarmos a considerar , ou seja, exluindo alguns primeiros termos de não interfere na nossa análise. Você pode desprezar alguns primeiros termos da série que está usando como parâmetro de comparação porque o que realmente importa é o comportamento a longo prazo da série, à medida que 𝑛 tende ao infinito.