Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 3
Encontre a área da superfície.
A parte do plano que cruza no primeiro octante.
Passo 1
Oi, pessoal! tudo bem? Vamos analisar essa questão.
A questão pede pra gente achar a área da superfície do plano:
Que estão no primeiro octante. Vale relembrar que o primeiro octante é a parte positiva dos 3 eixos do espaço tridimensional, onde:
e
A área da superfície com a equação é:
Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
E também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região no plano . Para ter nossa interseção da nossa função com o plano é só igualarmos na nossa equação.
Lembrando também que:
Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.
Vamos lá!
Passo 2
Temos então que encontrar as derivadas parciais e . Temos que , portanto:
Como a derivada de é e os outros termos são considerados constantes (derivada da constante é zero), vamos ter:
Como a derivada de é e os outros termos são considerados constantes (derivada da constante é zero), vamos ter:
Substituindo as derivadas parciais na nossa integral, a área será:
Somando os termos:
Passo 2
Para aplicar os limites de integração, temos que fazer , na nossa equação, assim vamos estar olhando somente para o plano , que é onde se encontra nosso domínio de integração :
Isolando :
Mas como estamos no primeiro octante, , então o valor mínimo de é zero:
Como estamos no primeiro octante, , então o valor mínimo de é zero. Para achar o valor máximo que temos na reta , fazemos na nossa equação:
E obtemos
Portanto:
Então, nossos limites de integração serão:
Passo 3
Ufa! Agora que nossa integral está completa, é só a gente resolver! Resolvendo, temos que começar pela integral de dentro em relação a , considerando como constante:
Tirando a constante para fora:
Resolvendo a integral de dentro:
Aplicando os limites de integração:
Agora podemos resolver a integral de fora em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Nossa área procurada será de: