Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 44

Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 8). Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo na boa?

Aqui queremos saber se essa série converge ou diverge. E se convergir, queremos sua soma. Hmmm... mas como fazer isso?

Essa série é um tipo de série chamada telescópica. Estranho eu sei, mas já vou te explicar.

Como funcionam as séries telescópicas?

Elas acontecem geralmente quando temos um termo com uma subtração, onde parte de um termo cancela com um próximo, sobrando parte dos primeiros termos e parte dos últimos.

Neste caso temos que nosso termo:

Usando a propriedade do

Agora que temos nosso termo em forma de subtração podemos abri-lo nos próximos passos e achar uma expressão para a soma . Essa expressão terá dois termos pois os termos restantes terão termos iguais a eles, mas com sinais opostos, ou seja, vão se cancelar.

E assim vamos calcular:

Se esse limite existir, nossa série converge. Se não, ela diverge.

Bora!

Passo 2

Buscando agora quanto vale nossa soma, vamos analisar o

Substituindo nossos termos com

Repara nesses termos da nossa soma. Tá vendo como temos mas também temos ? O mesmo para os termos seguintes até e .

Analisando o padrão, percebemos que todos os termos de cancelam, menos o primeiro e o ultimo , já que esses não têm termos iguais com sinais opostos:

Como , teremos, por fim:

Passo 3

Para descobrir se nossa série converge ou diverge, basta aplicar o limite. Quanto mais nosso cresce, ou seja, , nossa função também vai tender ao infinito. Ou seja, cresce sem parar, mas para valores negativos e não se aproxima de um único valor fixo, portanto: