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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Questões para guiar sua revisão - Ex. 7

O que é uma série geométrica? Quando esse tipo de série converge? Quando diverge? Quando ela converge, qual é a soma? Dê exemplos.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Uma sequência geométrica é uma sequência denotada por { a n } , onde o quociente de dois termos consecutivos a n e a n + 1 que pode ser expressa como uma razão r ∈ R , para todo n ∈ N . Uma sequência geométrica A pode ser escrita como:

A = { a 0 ,     a 0 r ,   a 0 r 2 ,   a 0 r 3 ,   … } para qualquer r ∈ R e a 0 ≠ 0 .

Uma série geométrica converge se e somente se r < 1 . E qualquer série geométrica que converge para um valor S, dado por:

S = a 0 1 - r

E a série geométrica diverge se r ≥ 1 .

Um exemplo de série geométrica convergente é:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n

Onde a razão pode ser determinada como:

r = a n + 1 a n = 1 2 n + 1 1 2 n = 1 2  

Temos então uma série geométrica com razão r = 1 2 < 1 .

E um exemplo de série geométrica divergente é:

∑ n = 1 ∞ 2 n

que a razão pode ser determinada como:

r = a n + 1 a n = 2 n + 1 2 n = 2  

Temos então uma série geométrica com razão r = 2 ≥ 1 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 + 4 n + 3
Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 2 ∞ 2 n 2 - 1
Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x . ∑ n = 1 ∞ x n 3 n
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ [ 2 0,1 n + 0,2 n ]
Se a n -ésima soma parcial de uma série ∑ n = 1 ∞ a n for s n = n - 1 n + 1 Encontre a n e ∑ n = 1 ∞ a n .