Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 20
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Temos uma sequÊncia de números
E precisamos decidir se essa sequência converge ou diverge. Ué, mas temos uma soma de números, como ela seria convergente!
Isso acontece se a sequência for uma série geométrica com razão menor do que 1! Se pudermos escrever essa soma de números como
Com sua soma é
Beleza? Então a ideia é rescrever essa sequência para ver se ela se encaixa nessa série!
Passo 2
Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar achar o termo geral, para sabermos como ela se comporta.
Para isso, vamos tentar olhar para esses valores em forma de fração
Essa série é uma série geométrica com e , como descobrimos isso? O é sempre igual ao primeiro termo e para achar o , basta dividir o segundo pelo primeiro e depois testar se essa é realmente uma série geométrica.
Neste caso realmente da certo, então podemos escrever essa série como
Passo 3
Agora que sabemos que se trata de uma série geométrica, basta testarmos o pra saber se ela converge.
Para que ela convirja , neste caso e sabemos que então a série converge.
Para saber para qual valor a série converge, basta usar a fórmula
Jogando e
Então a série converge para