Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 22
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo tranquilo?
Precisamos começar descobrindo se nossa série dada é convergente ou divergente.
Depois precisamos calcular a soma da série.
A estratégia de resolução dessa questão é que veremos se tratar de uma série geométrica e para séries geométricas já temos expressões prontas para análise de convergência e cálculo de soma.
Olhando nossa sequência já vemos que precisaremos manipulá-la para entender se ela converge ou diverge. O fato de termos expoente no numerador e no denominador pode indicar que podemos colocar esse para “fora” da nossa fração e ficaremos com algo no formato de uma série geométrica:
Fazemos isso porque quando temos séries geométricas nossa análise de convergência ou divergência se torna muito mais fácil, já que temos expressões prontas para isso.
Passo 2
Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar transformá-la em uma série geométrica. Para isso basta substituir .
Da propriedade da potenciação , teremos:
Comparando série com uma série geométrica que é da forma , vamos ter que:
e
Passo 3
Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o .
- Para que ela convirja:
- Para que ela divirja:
Neste caso e sabemos que , então a série diverge.
Quando uma série diverge, significa que a soma dos termos da série tende ao infinito à medida que o número de termos aumenta. Dessa forma, não é possível atribuir um valor finito à soma da série.
Resposta
Diverge. Não existe soma da série.