Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 25
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo certo?
Aqui vamos precisar começar descobrindo se nossa série dada é convergente ou divergente.
Depois precisamos calcular a soma da série:
A estratégia de resolução dessa questão é que veremos se tratar de uma série geométrica e para séries geométricas já temos expressões prontas para análise de convergência e cálculo de soma.
Fazemos isso porque quando temos séries geométricas nossa análise de convergência ou divergência se torna muito mais fácil, já que temos expressões prontas para isso.
Passo 2
Olhando nossa série, vemos que ela tem expoente tanto em termos do numerador quanto do denominador. Isso nos dá um indício de que podemos rearranjar os termos para ficar mais claro de que se trata de uma série geométrica.
. Para isso basta substituir e a propriedade :
Essa série se trata de uma série geométrica que é da forma:
Portanto temos uma série geométrica com e .
Passo 3
Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o .
- Para que ela convirja:
- Para que ela divirja:
Nesse nosso caso e como é maior que , quando dividimos , portanto essa série diverge.
Então, como a sequência diverge ela também não terá uma soma finita.
Resposta
A sequência é divergente.