Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

1/8 - 1/4 + 1/2 - 1 + ...

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Aprendemos nessa seção como as séries geométricas funcionam: se a razão (em módulo) for menor do que 1, então a série converge! Então a ideia é achar seu termo geral para verificar que realmente temos uma série geométrica e aplicar a soma dos infinitos termos!

Mas relaxa, vou fazer com você!

Passo 2

Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar achar o termo geral, para sabermos como ela se comporta.

Essa série é uma série geométrica com a = 1 8 e r = - 2 , como descobrimos isso? O a é sempre igual ao primeiro termo e para achar o r , basta dividir o segundo pelo primeiro e depois testar se essa é realmente uma série geométrica.

Neste caso realmente da certo, saca só

1 8 - 1 4 + 1 2 - 1 + …

Primeiro termo: 1 / 8

Segundo termo: - 1 / 4

A razão

r = - 1 4 1 8 = - 2

E para confirmar o terceiro sobre o segundo precisa dar - 2 também

r = 1 2 - 1 4 = - 2

Ótimo! Temos uma série geométrica!

então podemos escrever essa série como

∑ n = 0 ∞ 1 8 - 2 n - 1

Passo 3

Agora que sabemos que se trata de uma série geométrica, basta testarmos o r pra saber se ela converge.

Para que ela convirja r < 1 , neste caso r = - 2 e sabemos que - 2 = 2 > 1 então a série diverge.

Resposta

Diverge.

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