Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 38
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo tranquilo?
Aqui vamos precisar determinar se a série converge (e se esse for o caso, determinar também sua soma ou diverge.
Nesta série, temos um termo
Que por mais estranho que talvez pareça pra você, é simplesmente uma constante elevada a , essa constante é . Se é uma constante elevada a , essa é uma série muito próxima de uma série geométrica
A série geométrica é do tipo:
Esse tipo de série converge se .
E olha como vai ficar fácil para a gente encontrar a soma: esse tipo de série tem expressão pronta para cálculo da soma!
Vamos pôr a mão na massa!
Passo 2
Nossa série vai ser uma série geométrica de formato:
Bom, lembra o que acabamos de ver no passo 1? O que usamos para determinar a convergência ou divergência de uma série geométrica é o valor do raio .
No nosso caso:
Calculando o valor dessa constante temos:
Assim, chegamos na nossa conclusão: nossa série é convergente!
Passo 3
Para finalizar, só falta a gente encontrar o valor da soma da nossa série:
Uma série geométrica convergente tem seu valor dado por
Sabemos o valor de . Calculando que é o primeiro termo da nossa série que começa em , temos:
Substituindo na nossa expressão:
Resposta
A série é convergente e: