Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.

∑ k = 1 ∞ cos ⁡ 1 k

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo tranquilo?

Aqui vamos precisar determinar se a série converge (e se esse for o caso, determinar também sua soma ou diverge.

Nesta série, temos um termo

a k = cos ⁡ 1 k

Que por mais estranho que talvez pareça pra você, é simplesmente uma constante elevada a k , essa constante é cos ⁡ 1 . Se é uma constante elevada a k , essa é uma série muito próxima de uma série geométrica

A série geométrica é do tipo:

∑ k = 1   ∞ a r k

Esse tipo de série converge se r < 1 .

E olha como vai ficar fácil para a gente encontrar a soma: esse tipo de série tem expressão pronta para cálculo da soma!

s n = a 1 - r

Vamos pôr a mão na massa!

Passo 2

Nossa série vai ser uma série geométrica de formato:

∑ k = 1   ∞ cos ⁡ 1 k

Bom, lembra o que acabamos de ver no passo 1? O que usamos para determinar a convergência ou divergência de uma série geométrica é o valor do raio r .

No nosso caso:

| r | = cos ⁡ 1

Calculando o valor dessa constante temos:

| r | ≅ 0.5403 < 1

Assim, chegamos na nossa conclusão: nossa série é convergente!

Passo 3

Para finalizar, só falta a gente encontrar o valor da soma da nossa série:

Uma série geométrica convergente tem seu valor dado por

s n = a 1 - r

Sabemos o valor de r . Calculando a que é o primeiro termo a 1 da nossa série que começa em n = 1 , temos:

a 1 = cos ⁡ 1 1 = cos ⁡ 1

Substituindo na nossa expressão:

s n = cos ⁡ 1 1 - cos ⁡ 1 ≅ 1,1753

Resposta

A série é convergente e: ∑ k = 1 ∞ cos ⁡ 1 k = cos ⁡ 1 1 - cos ⁡ 1 ≅ 1,1753

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados