Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 16
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza pessoal, a questão nos solicita para encontrar o raio de convergência da série. Ou seja, temos uma série de potência (veja o , que funciona como variável) que pode vir a convergir para alguns valores de , e divergir para outros. Mas para encontrar quais s��o os valores que estão nesse intervalo de convergência temos que encontrar o raio de convergência.Perceba que há um elemento elevado a . Isso indica que é uma boa opção utilizar o teste da razão. Assim aplicaremos um método para testar a convergência de série de forma que poderemos obter os valores de para que a série converge. Tudo certo? Então vamos iniciar?
Passo 2
Para obtermos o raio de convergência e o intervalo de convergência, é necessário utilizarmos o teste da razão. Ele nos diz que, se:
Então a série é convergente.
Portanto, vamos checar se isto é verdade para a nossa função!
De modo que:
E
Calculando o termo do limite inicialmente, temos:
Agora,
Portanto, a série será convergente se . Consequentemente, o raio de convergência é 1.
Passo 3
Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando e , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando , temos a seguinte série:
Uma série alternada! Como , então, pelo teste das séries alternadas, esta série não é convergente!
Já quando , temos:
E, como , então, a série não converge para ! Logo, o intervalo de convergência é:
Resposta
Raio de convergência é 1. O intervalo de convergência é