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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2d

Determine a solução:

d ) overset(¨)(x) + x = 0 , x (0) = - 1 e overset(˙)(x) (0) = 2

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 1) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 1) = 0 -> lambda^2 + 1 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 0 e c = 1 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (1)))/(2 (1)) = +- (sqrt(- 4))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

+- (sqrt(4 i^2))/(2) = +- (sqrt(( 2 i )^2))/(2) = +- (2)/(2) i = +- i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = 0 e beta = 1

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

x (t) = e^(0 t) [A cos 1 t + B sin 1 t] = A cos t + B sin t

Passo 4

Agora que temos x (t) podemos achar os valores de A e B usando x (0) e o overset(˙)(x) ( 0 ) .

Para isso precisamos achar o overset(˙)(x) (t) .

overset(˙)(x) (t) = (d (x (t)))/(d t) = (d (A cos t + B sin t))/(d t) = - A sin t + B cos t

Ou seja, overset(˙)(x) (t) = - A sin t + B cos t

Passo 5

Substituindo o 0 em x (t) e overset(˙)(x) ( t ) , teremos:

x (0) = A cos 0 + B sin 0 = A xx 1 + B xx 0 = A -> A = - 1

overset(˙)(x) (0) = - A sin 0 + B cos 0 = - A xx 0 + B xx 1 = B -> B = 2

Substituindo em x (t) :

x (t) = - cos t + 2 sin t

Resposta

x (t) = - cos t + 2 sin t

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