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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 26

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x , y ,   z = t g x + 2 y + 3 z ,                     - 5 ,   1 ,   1

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas direcionais, vamos lá!

A questão nos da uma função f x ,   y ,   z = t g x + 2 y + 3 z e pede para encontrarmos o valor máximo de sua derivada direcional no ponto - 5 ,   1 ,   1 !

Ok, e como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ,   c ) em uma direção u → unitária qualquer é dada por

D u f a ,   b ,   c = ∇ f a ,   b ,   c ⋅ u →

Onde ∇ f é o gradiente da função f ! Relembrando: O gradiente é o conjunto das derivadas parciais, nesse caso f x , f y e f z .

Mas e para encontrar o valor máximo e sua direção?

O valor máximo é simplesmente o módulo de ∇ f e ele ocorre na mesma direção de ∇ f !

Dessa forma, calculando o gradiente ∇ f nós já temos a resposta quase completa!

Passo 2

Buscamos

∇ f a ,   b ,   c = ( f x ,   f y ,   f z )

Dessa forma, para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y e z constante

∂ f ∂ x = ∂ t g x + 2 y + 3 z   ∂ x

Que pode ser resolvido usando a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

∂ f ∂ x = d   t g ( u ) d u ⋅ d x + 2 y + 3 z d x

∂ f ∂ x = s e c 2 x + 2 y + 3 z ⋅ 1

Analogamente , encontramos f y igual a

∂ f ∂ y = 2 ⋅ s e c ² ( x + 2 y + 3 z )

E, por fim, f z

∂ f ∂ z = 3 ⋅ s e c ² ( x + 2 y + 3 z )

Passo 3

Temos o gradiente

∇ f = s e c 2 x + 2 y + 3 z , 2 ⋅ s e c 2 x + 2 y + 3 z , 3 ⋅ s e c ² ( x + 2 y + 3 z )

Ou ainda, em função dos vetores unitários

∇ f = s e c 2 x + 2 y + 3 z i + 2 s e c 2 x + 2 y + 3 z j + 3 s e c 2 x + 2 y + 3 z k

Substituindo o ponto - 5 ,   1 ,   1 nós obtemos

∇ f - 5 ,   1 ,   1 = 1 i + 2 j + 3 k

Que é a direção em que a taxa de variação ocorre! Além disso, tirando o módulo para encontrar o valor máximo, temos

∇ f - 5 ,   1 ,   1 = 1 2 + 2 ² + 3 ²

∇ f ( - 5,1 , 1 ) =   14

Resposta

∇ f - 5 ,   1 ,   1 = 1 i + 2 j + 3 k

∇ f ( - 5,1 , 1 ) =   14

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