Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → 6,3 ⁡ x y cos ⁡ x - 2 y

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y → 6,3 ⁡ x y cos ⁡ x - 2 y

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

Vamos primeiro analisar a nossa função que está no limite:

  • Sabemos que a função x y é polinomial e, assim, contínua.
  • Sabemos que a função x - 2 y também é polinomial e, portanto, também contínua.
  • Sabemos que a função c o s ( t ) é contínua.
  • Assim, a composição c o s ⁡ ( x - 2 y ) é contínua e a função x y c o s ( x - 2 y ) também é contínua.

Dessa forma, para confirmarmos a existência do limite, vamos apenas substituir os valores para os quais x e y estão tendendo.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Sabemos que em uma função contínua, f x , y = f a , b .

Assim, substituindo os valores na função, temos:

f x , y = x y cos ⁡ x - 2 y

f 6,3 = 6 ⋅ 3 ⋅ cos ⁡ 6 - 2 ⋅ 3

f 6,3 = 18 ⋅   cos ⁡ 0

f 6,3 = 18

Prontinho! 😉

Resposta

lim x , y → 6,3 ⁡ x y c o s x - 2 y = 18

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